Question

已知x＞0，y＞0，若

2y

x

+

8x

y

＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是

-4＜m＜2

．

Answer 1

分析：根据题意，由基本不等式的性质，可得

2y

x

+

8x

y

≥2

2y x • 8x y

=8，即

2y

x

+

8x

y

的最小值为8，结合题意，可得m²+2m＜8恒成立，解可得答案．

解答：解：根据题意，x＞0，y＞0，则

2y

x

＞0，

8x

y

＞0，
则

2y

x

+

8x

y

≥2

2y x • 8x y

=8，即

2y

x

+

8x

y

的最小值为8，
若

2y

x

+

8x

y

＞m²+2m恒成立，必有m²+2m＜8恒成立，
m²+2m＜8?m²+2m-8＜0，
解可得，-4＜m＜2，
故答案为-4＜m＜2．

点评：本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出

2y

x

+

8x

y

的最小值．