Question

满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是

4

3

．

Answer 1

分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．

解答：解：设BC=x，则AC=2x，由余弦定理可得 cosB=

x2+4-4x2

4x

=

4-3x2

4x

．
由于三角形ABC的面积为

1

2

•2•x•sinB=x

1-cos2B

=

x2[1-( 4-3x2 4x )2]

=

-9x4+40x2-16 16

=

-9x4+40x2+16

4

．
再由三角形任意两边之和大于第三边可得

x+2x＞2 x+2＞2x

，解得

2

3

＜x＜2，故

4

9

＜x²＜4．
再利用二次函数的性质可得，当x²=

20

9

时，函数-9x⁴+40x²+16取得最大值为 

256

9

，
故

-9x4+40x2+16

4

的最大值为

4

3

，
故答案为

4

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．