Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若

ED

=6

DF

，求k的值；
（3）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1，所以所求的椭圆方程为

x2

4

+y2=1．（2）直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，故x₂=-x₁=

2

1+4k2

．由此能求出k的值．
（3）根据点到直线的距离公式，知点E，F到AB的距离，分别求出为h₁，h₂，|AB|=

22+1

=

5

，由此能求出四边形AEBF的面积的最大值．

解答：解：（1）由题意

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得a=2，c=

3

，b=1，所以所求的椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=

2

1+4k2

．
由

ED

=6

DF

知x0-x1=6(x2-x0)，得x0=

1

7

(6x2+x1)=

5

7

x2=

10

7 1+4k2

；
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，
得x₀=

2

1+2k

．
所以

2

1+2k

=

10

7 1+4k2

，化简得24k2-25k+6=0，解得k=

2

3

或k=

3

8

．
（3）根据点到直线的距离公式知，
点E，F到AB的距离分别为
h₁=

|x1+2kx1-2|

5

=

2(1+2k+ 1+4k2 )

5(1+4k2)

，h2=

|x2+2kx2-2|

5

=

2(1+2k- 1+4k2 )

5(1+4k2)

，
又|AB|=

22+1

=

5

，
所以四边形AEBF的面积为
S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

•

5

•

4(1+2k)

5(1+4k2)

=

2(1+2k)

1+4k2

=2

1+4k2+4k 1+4k2

≤2

2

．
当2k=1，即当k=

1

2

时，上式取等号．所以S的最大值为2

2

．

点评：本题考查直线和椭圆的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行等价转化．