Question

已知椭圆的中心在原点，离心率为

1

2

，一个焦点是F（-m，0）（m是大于零的常数）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点Q是椭圆上的一点，且过点F，Q的直线l与y轴相交于点M，若|

MQ

|=2|

QF

|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）依题意可知c，进而根据离心率求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得；
（2）设出直线l的方程，则M的坐标可得，设出Q的坐标，根据|

MQ

|=2|

QF

|，求得x₁和y₁代入椭圆方程求得k．

解答：解：（1）依题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵离心率为

1

2

，一个焦点是F（-m，0）
∴c=m，

c

a

=

1

2

∴a=2c=2m，∴b=

a2-c2

=

3

m，
∴椭圆的方程为：

x2

4m2

+

y2

3m2

=1；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，直线l的方程为y=k（x+m），则有M（0，km），
设Q（x₁，y₁），则
∵|

MQ

|=2|

QF

|，根据题意得（x₁，y₁-km）=±2（x₁+m，y₁）解得x₁=-2m，y₁=-km或x₁=-

2

3

m，y₁=

km

3

又Q在椭圆C上，故

(-2m)2

4m2

+

(-km)2

3m2

=1或

(- 2 3 m)2

4m2

+

( km 3 )2

3m2

=1
解得k=0或k=±2

6

综上，直线l的斜率0或±2

6

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．