Question

20．△ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=$\frac{1}{3}$．
（1）求sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；
（2）运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=sin²$\frac{π-A}{2}$+2cos²A-1
=cos²$\frac{A}{2}$+2cos²A-1=$\frac{1+cosA}{2}$+2cos²A-1
=$\frac{1+\frac{1}{3}}{2}$+2×$\frac{1}{9}$-1=-$\frac{1}{9}$；
（2）cosA=$\frac{1}{3}$，可得sinA=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc
≥2bc--$\frac{2}{3}$bc=$\frac{4}{3}$bc，
即有bc≤$\frac{3}{4}$a²=$\frac{9}{4}$，当且仅当b=c=$\frac{3}{2}$，取得等号．
则△ABC面积为$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
即有b=c=$\frac{3}{2}$时，△ABC的面积取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．