题目内容

（1）设函数f（x）=x²-1，对任意 $数学公式$ 恒成立，则实数m的取值范围是．
（2）函数f（x）= $数学公式$ ，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围是．

解：（1）把f（x）=x²-1代入， $\text{[math]}$ -1-4m²（x²-1）≤（x-1）²-1+4（m2-1）
化简分离参数，由x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）可得 $\text{[math]}$ -4m²≤- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1
令y=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1，由x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）可得函数在由x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增，所以x= $\text{[math]}$ 时，y取得最小值为- $\text{[math]}$
所以得 $\text{[math]}$ -4m²≤- $\text{[math]}$
整理得：12m⁴-5m²-3≥0
所以（3m²+1）（4m²-3）≥0，所以4m²-3≥0
即m∈（-∞，- $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）；
（2）函数f（x）= $\text{[math]}$ 的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
故答案为：（1）（-∞，- $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）；
（2）（-∞，1]
分析：（1）将函数代入，再化简并分离参数，确定函数的最值，即可求得m的取值范围；
（2）在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．
点评：本题考查恒成立问题，考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．