Question

下列说法正确的个数是（　　）
①“若一个动点到两定点距离之和是常数，则该动点轨迹是椭圆”的逆命题是真命题；
②“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的必要条件；
③抛物线y=4x²的焦点坐标是（1，0）；
④命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x03-x02+1＞0”．

Answer 1

分析：根据四种命题的定义，写出原命题的逆命题，进而根据椭圆的定义，可判断①；根据两条直线垂直的充要条件求出两直线垂直时m的值，结合充要条件的定义，可判断②；将抛物线方程化为标准方程，求出焦点坐标，可判断③；根据全称命题的否定方法，求出原命题的否定，可判断④．

解答：解：“若一个动点到两定点距离之和是常数，则该动点轨迹是椭圆”的逆命题为“若动点轨迹是椭圆，则动点到两定点距离之和是常数”，根据椭圆的定义，可得①正确；
若直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直，则3×m+（2m-1）×m=2m²+2m=0，解得m=0或m=-1，故“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，故②错误；
抛物线y=4x²的标准方程为x²=

1

4

y，故抛物线焦点坐标是（

1

16

，0），故③错误；
命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x03-x02+1＞0”，故④错误
故正确的命题个数为1个
故选A

点评：本题考查的知识点是椭圆的定义，直线垂直的充要条件，抛物线的焦点，全称命题的否定，熟练掌握上述基本知识点是解答的关键．