Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinα，cosα），$\overrightarrow{b}$=（6sinα+cosα，7sinα-2cosα），设f（α）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（α）的递增区间及周期；
（2）f（α）的图象是由y=4$\sqrt{2}$sin2α的图象经过怎样的变换得到的？

Answer 1

分析 （1）由向量数量积的坐标表示，和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简f（α），再由正弦函数的单调增区间和周期公式，计算即可得到；
（2）运用正弦函数图象的相位变换和上下平移变换，即可得到．

解答 解：（1）f（α）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinα（6sinα+cosα）+cosα（7sinα-2cosα）
=6sin²α+8sinαcosα-2cos²α
=3（1-cos2α）+4sin2α-（1+cos2α）
=4（sin2α-cos2α）+2=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+2，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2α-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{8}$≤α≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
即有f（α）的递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z，
周期为π；
（2）f（α）=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+2的图象是由y=4$\sqrt{2}$sin2α的图象
先向右平移$\frac{π}{8}$个单位，得到y=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$），再向上平移2个单位，
得到y=4$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+2的图象．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查三角函数的化简，以及正弦函数的图象和性质，和图象变换，属于中档题．