Question

三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间；
（2）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，求证：（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
依题意有

3+2a+b=0 a+b+c=-3

?

a-c=0 b=-2c-3

从而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或x=-

2c+3

3

由于f（x）在x=1处取得极值，
因此-

2c+3

3

≠1，得到c≠-31若-

2c+3

3

＞1，
即c＜-3，则当x∈（-∞，1）或x∈(-

2c+3

3

，+∞)时，f′（x）＞0，
当x∈(1，-

2c+3

3

)时，f′（x）＜0，
因此f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和(-

2c+3

3

，+∞)，单调递减区间为(1，-

2c+3

3

)；
若-

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
则当x∈(-∞，-

2c+3

3

)或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈(-

2c+3

3

，1)时，f′（x）＜0，
因此f（x）的单调递增区间为(-∞，-

2c+3

3

)和（1，+∞），单调递减区间为(-

2c+3

3

，1)．
（2）设直线BD的方程为y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因为D点在直线上又在曲线上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0从而x_D+2x_B+a=0，
同理有x_A+2x_C+a=0，由于AC平行于BD，
因此f′（x_B）=f′（x_C），
得到xB+xC=-

2a

3

进一步化简可以得到xA+xD=xB+xC=-

2a

3

，
从而x_A-x_B=x_C-x_D
又（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1