Question

（本小题满分14分）设函数（），．
(Ⅰ)令，讨论的单调性；
（Ⅱ）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
（Ⅲ）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）函数在上是单调递减；在上是单调递增.
（2）（3）．

试题分析：(I)直接求导，利用得到F(x)的单调增（减）区间；
（II）不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，令,因为h(x)的一个零点区间为(0,1),
所以得到另一个零点一定在区间,故,问题到此得解.
(III)由（I）知可知F(x)的最小值为0,则f(x)与g(x)的图像在处有公共点.
如果f(x)与g(x)存在分界线，因为方程即，所以由题意可转化为在恒成立问题解决.
（Ⅰ）由得：
················· 1分
①当时，，则函数在上是单调递增；····· 3分
②当时，则当时，， 当时，
故函数在上是单调递减；在上是单调递增. ···· 5分
（Ⅱ）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故，
令，由且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间，故  解之得．··· 9分

下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则成立．
故所求“分界线”方程为：．　　　　　　…………14分
点评：本题综合性难度大，第（II）问的关键是构造之后，判定一个零点在区间(0,1),另一个零点,从而问题得解.
第（III）问关键是理解f(x)与g(x)存在分界线，因为方程即，题目可转化为在恒成立问题解决.