Question

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）平面平面,平面

平面平面平面（II）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（I）证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．            

平面，平面平面………4分

（II）根据（Ⅰ）的证明，有平面，

为在平面内的射影,

因此，为直线与平面所成的角  ……………6分

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．

,，则．

在中，根据射影定理，得．

，．

直线与平面所成角的大小为．       …………8分

（Ⅲ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为则 ,又

   

设平面的法向量为，则,．

即    令，解得

 ………………………………..10分

由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意 与的夹角为，即， 解得

因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.…12分

考点：线面垂直的判定与性质及线面角，二面角的求解

点评：采用空间向量的方法求解关于点的位置或线段长度的题目较简便易行