Question

对于函数①f（x）=（x-2）²，②f(x)=(

1

2

)|x-2|，③f（x）=lg（|x-2|+1）．有如下三个结论：结论甲：f（x+2）是偶函数；结论乙：f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；结论丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．能使甲、乙、丙三个结论均成立的所有函数的序号是

①

．

Answer 1

分析：要判断题目中给出的三个函数中，使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号，我们可将题目中的函数一一代入结论甲、乙、丙进行判断，只要有一个命题为假，即可排除，不难得到最终的答案．

解答：解：①若f（x）=（x-2）²则
f（x+2）是偶函数，此时结论甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时结论乙为真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增的；此时结论丙为真．
②若f(x)=(

1

2

)|x-2|则
f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数；此时结论乙为假；
③若f（x）=lg（|x-2|+1）则：
f（x+2）是偶函数，此时结论甲为真；
f（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时结论乙为真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是单调递增的；此时结论丙为假．
故答案为：①

点评：本题综合的考查了多个函数的性质，熟练掌握各种基本函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性、对称性等，是解决本题的关键，属于基础题．