Question

设f(x)=3ax²+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)·f(1)＞0.求证：

(Ⅰ)方程f(x)=0有实根；

(Ⅱ)-2＜＜-1;

(Ⅲ)设x₁,x₂是方程f(x)=0的两个实根，则≤|x₁-x₂|＜.

Answer 1

证明：(Ⅰ)若a=0,则b=-c,f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-c²≤0与已知矛盾，∴a≠0,方程3ax²+2bx+c=0的判别式Δ=4(b²-3ac),由条件a+b+c=0,消去b得Δ=4(a²+c²-ac)=4［(a-c)²+c²］＞0.

    故方程f(x)=0有实根.

(Ⅱ)由f(0)·f(1)＞0得，c(3a+2b+c)＞0,由条件a+b+c=0消去C得(a+b)(2a+b)＜0,因a²＞0,∴(+1)(+2)＜0.

    故-2＜＜-1.

(Ⅲ)由条件知：x₁+x₂=-，x₁-x₂==-.

    所以(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(+)²+,

    因为-2＜＜-1,所以≤(x₁-x₂)²＜,

    故≤|x₁-x₂|＜.