题目内容
若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是
b＜-3+2
| 2 |
b＜-3+2
．| 2 |
分析：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+
＜a＜x-
恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+
的最值从而得解．
| b |
| x |
| b |
| x |
| b |
| x |
解答：解：问题等价于：当0≤x≤1时，x|x-a|+b＜0恒成立，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
也即x+
＜a＜x-
恒成立
令g（x）=x+
在0＜x≤1上单调递增，∴a＞gmax（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-
，则h（x）在（0，
]上单调递减，[
，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-
在0＜x≤1上单调递减
∴a＜hmin（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°当-1≤b＜2
-3时，h（x）=x-
≥2
，
∴a＜hmin（x）=2
，∴1+b＜a＜2
．
故可知b＜-3+2
时，存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立
故答案为：b＜-3+2
．
也即x+
| b |
| x |
| b |
| x |
令g（x）=x+
| b |
| x |
令h（x）=x-
| b |
| x |
| -b |
| -b |
1°当b＜-1时h（x）=x-
| b |
| x |
∴a＜hmin（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°当-1≤b＜2
| 2 |
| b |
| x |
| -b |
∴a＜hmin（x）=2
| -b |
| -b |
故可知b＜-3+2
| 2 |
故答案为：b＜-3+2
| 2 |
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查不等式的解法，考查运算求解能力，化归与转化思想，有一定的难度．
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