Question

已知函数f（x）=ax²+bx，f（2）=0，且f（x）≤x恒成立
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在常数p，q，使f（x）的定义域和值域分别是[p，q]和[2p，2q]，如果存在，求出p，q．如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0可得b=-2a，代入f（x）≤x，根据不等式恒成立可求a值，从而可得b值；
（2）假设存在满足条件的p，q，分p＜q≤1，1≤p＜q，p＜1＜q三种情况讨论求得f（x）的最大值、最小值，分别令其等于2q，2p，解出即可；

解答：解：（1）由f（2）=0，得4a+2b=0，∴b=-2a，
则f（x）=ax²-2ax，
f（x）≤x即ax²-2ax≤x，∴ax²-（2a+1）x≤0，
当a=0时不等式化为-x≤0，不恒成立，
当a≠0时，有

a＜0 (2a+1)2≤0

，解得a=-

1

2

，
∴b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）假设存在常数p，q复合条件，则
①当p＜q≤1时，f（x）在[p，q]上递增，有

- 1 2 p2+p=2p - 1 2 q2+q=2q

，解得

p=-2 q=0

；
②当1≤p＜q时，f（x）在[p，q]上递减，有

- 1 2 p2+p=2q - 1 2 q2+q=2p

，此时无解；
③当p＜1＜q时，f（x）在[p，q]上的最大值为f（1）=

1

2

=2q，解得q=

1

4

，矛盾；
综上，存在p=-2，q=0满足条件．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值、恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．