Question

平面上定点A、B距离为4，动点C满足|CA|-|CB|=3，则|CA|的最小值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  7

  2

• D．5

Answer 1

分析：设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，由题意可得双曲线方程为

x2

9 4

-

y2

7 4

=1．再设C（m，n），得
|CA|²=（m+2）²+n²，化简得|CA|²=

16

9

m²+4m+

9

4

，最后根据m的取值范围结合二次函数的单调性，可求得|CA|的最小值．

解答：解：∵动点C满足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3
∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支
设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，可得
A（-2，0），B（2，0），设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴a=

3

2

，c=2，得b=

c2-a2

=

7

2

，双曲线方程为

x2

9 4

-

y2

7 4

=1
设C（m，n），得|CA|²=（m+2）²+n²=（m+2）²+

7

4

（

4

9

m²-1）=

16

9

m²+4m+

9

4

∵C点横坐标m≥

3

2

，
∴当且仅当m=

3

2

时，|CA|²的最小值为

49

4

，得|CA|的最小值是

7

2

故选：C

点评：本题给出动点C满足的轨迹方程，求点C到定点A距离的最小值，着重考查了轨迹与方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．