Question

已知向量

p

=（

3

2

sin2x，-f（x）），

q

=（-m，cos²x+m-

1

2

）（m∈R） 且

p

与

q

互为相反向量．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈[0，

π

3

），f²（x）-λf（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）由

p

与

q

互为相反向量可得 m=

3

2

sin2x，f（x）=cos²x+m-

1

2

，化简可得f（x）的解析式．
（2）根据x∈[0，

π

3

），可得f（x）∈[

1

2

，1]，令 h=f²（x）-λf（x）+1，利用二次函数的性质求得h的最小值，再由最小值为-2求得实数λ的值．

解答：解：（1）由

p

与

q

互为相反向量可得 m=

3

2

sin2x，f（x）=cos²x+m-

1

2

，
∴f（x）=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，

π

3

），∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

），∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，即f（x）∈[

1

2

，1]．
 令 h=f²（x）-λf（x）+1，当

λ

2

＜

1

2

时，则h在[

1

2

，1]上是增函数，则f（x）=

1

2

时，h取得最小值为-2，
故

1

4

-

1

2

λ+1=-2，解得 λ=

13

2

 （舍去）．
当

1

2

≤

λ

2

≤1时，f（x）=

λ

2

时，h取得最小值为-2，即 

4-λ2

4

=-2，解得λ=±2

3

（舍去）．
当

λ

2

＞1时，h在[

1

2

，1]上是减函数，f（x）=1 时，h取得最小值为 1-λ+1=-2，解得 λ=4．
综上可得，λ=4．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．