Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+m（m∈R）．
（I）若x∈R，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求m的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若a、b、c分别是三角形角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据正弦函数的单调性，构造不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解不等式即可求出函数的单调增区间．
（II）根据角的范围得出-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，可知1+m=2从而求出结果．
（III）由2sin（

π

6

+2A）+2=3，结合0＜A＜π可求A，然后由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA及已知可求bc，代入三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA

解答：解：（I）f（x）=2cos²x+

3

sin2x+m=cos2x+

3

sin2x+1+m=2sin（

π

6

+2x）+1+m
当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ⇒x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]为函数的单调增区间．
（II）∵x∈[0，

π

2

]
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∵f（x）的最大值为4
∴1+m=2解得：m=1
（III）由（II）知f（x）=2sin（

π

6

+2x）+2
∵f（A）=3
∴2sin（

π

6

+2A）+2=3即sin（

π

6

+2A）=

1

2

∵0＜A＜π
∴A=

π

3

由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA
∴a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
∴bc=1
S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

点评：本题主要考查了二倍角公式化简三角函数式，y=Asin（ωx+φ）的值域的求解，余弦定理及面积公式的应用，属于中档试题．