Question

设函数f（x）=（

1

4

）^x-（

1

2

）^x+1，不等式f（x）≤2a-1对x∈[-3，2]恒成立，则实数a的取值范围为

[29，+∞）

．

Answer 1

分析：令t=(

1

2

)x，则f（x）=g（t）=t²-t+1．由题意可得，当x∈[-3，2]时，2a-1大于或等于f（x）的最大值．利用二次函数的性质求得函数f（x）=g（t）的最大值，即可求得a的范围．

解答：解：令t=(

1

2

)x，则t＞0，f（x）=t²-t+1．
令g（t）=t²-t+1=(t-

1

2

)2+

3

4

，则当x∈[-3，2]时，

1

4

≤t≤8，函数g（t）的最大值为g（8）=57．
由题意可得，2a-1≥57，解得 a≥29，
故答案为[29，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．