Question

已知函数f(x)=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域；
（2）当a＞0时，判断函数y=f（x）的单调性并给予证明；
（3）若f（x）＞5在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．
（2）当a＞0时，y=f（x）在（0，1]上为单调递增函数，再利用定义证明；
（3）当x∈（0，1]时，f（x）＞5在定义域上恒成立，等价于a＜2x²-5x在x∈（0，1]时恒成立，求函数．g（x）=2x²-5x的最小值即可．

解答：解：（1）当a=-1时，f(x)=2x+

1

x

，
∵x∈（0，1]，
∴f(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，当且仅当2x=

1

x

，即x=

2

2

时取等号，
∴函数y=f（x）的值域为[ 2

2

 ， +∞ )．
（2）当a＞0时，y=f（x）在（0，1]上为单调递增函数．证明如下：任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=( x1-x2) ( 2+

a

x1x2

 )＜0，所以y=f（x）在（0，1]上为单调递增函数．
（3）当x∈（0，1]时，f（x）＞5在定义域上恒成立，即a＜2x²-5x在x∈（0，1]时恒成立．
设g（x）=2x²-5x，当x∈（0，1]时，g（x）∈[-3，0），只要a＜-3即可，即a的取值范围是（-∞，-3）．

点评：本题主要考查函数的值域，考查函数的单调性及恒成立问题，有一定的综合性．