题目内容

设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若
OP
=m
OA
+n
OB
(m，n∈R)，且mn=
2
9
，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
3
2
2
B．
3
5
5
C．
3
2
4
D．
9
8
由题意可知A(c，
bc
a
)，B(c，-
bc
a
)，
代入
OP
=m
OA
+n
OB
=((m+n)c，(m-n)
bc
a
)，
得P((m+n)c，(m-n)
bc
a
)，代入双曲线方程
x2
a2
-
y2
b2
=1，
得
[(m+n)c]2
a2
-
[(m-n)
bc
a
]2
b2
=1，所以4e2mn=1，因为mn=
2
9
，
即可得e=
3
2
4
；
故选C．
练习册系列答案
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设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）
A、
5
4
B、5
C、
5
2
D、
5
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率e=
2
3
3
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
2
．
（1）求双曲线方程；
（2）直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k值．
设F1、F2是离心率为
5
的双曲线
x2
a2
-
y 2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（　　）
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2
5
，则双曲线的渐近线方程为（　　）
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2
3
，则双曲线的渐近线方程为（　　）

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