题目内容
设F1、F2是离心率为
的双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
+
)•
=0（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（ ）
| 5 |
| x2 |
| a2 |
| y 2 |
| b2 |
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| A、2 | ||
B、
| ||
| C、3 | ||
D、
|
分析：取PF2的中点A，推出
⊥
，由OA 是△PF1F2的中位线，得到PF1⊥PF2，由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在△PF1F2中，由勾股定理得及
=
，解得λ的值．
| OA |
| F2P |
| c |
| a |
| 5 |
解答：解：取PF2的中点A，则
+
=2
，
∵(
+
)•
=0，∴2
•
=0，
∴
⊥
，由 OA 是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=
PF1．
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=λ|PF2|，∴|PF2|=
，|PF1|=λ•
．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2，
∴(λ•
)2+(
)2=4c2，
又
=
，∴(
) 2•(λ2+1) = 5，∴λ=2，
故选A．
| OP |
| OF2 |
| OA |
∵(
| OP |
| OF2 |
| F2P |
| OA |
| F2P |
∴
| OA |
| F2P |
∴PF1⊥PF2，OA=
| 1 |
| 2 |
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=λ|PF2|，∴|PF2|=
| 2a |
| λ-1 |
| 2a |
| λ-1 |
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2，
∴(λ•
| 2a |
| λ-1 |
| 2a |
| λ-1 |
又
| c |
| a |
| 5 |
| 1 |
| λ-1 |
故选A．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断△PF1F2是直角三角形，是解题的关键．
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