Question

已知数列{a_n]满足a₁=2，an+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），则a₂₀₁₂=

1

3

．

Answer 1

分析：根据数列实质就是函数，所以可令a_n=f（n），把an+1=

1+an

1-an

转化为f（n+1）与f（n）的关系，分析得到a_n周期出现．

解答：解：设a_n=f（n），由an+1=

1+an

1-an

得，f(n+1)=

1+f(n)

1-f(n)

，则f（n+2）=f[（n+1）+1]=

1+f(n+1)

1-f(n+1)

=

1+ 1+f(n) 1-f(n)

1- 1+f(n) 1-f(n)

=

2

-2f(n)

=-

1

f(n)

∴f(n+4)=-

1

f(n+2)

=-

1

- 1 f(n)

=f(n)，所以数列a_n是以4为周期出现的，
所以a₂₀₁₂=a₄，
又a2=

1+2

1-2

=-3，a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

所以a2012=

1

3

．
故答案为

1

3

．

点评：本题考查了数列的递推公式，解决此题的关键是转化成函数，进一步求出函数的周期，体现了数学中的转化思想．