题目内容

已知函数y=g（x）与f（x）=loga（x+1）（0＜a＜1）的图象关于原点对称．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）函数F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t2-1）＜0．
分析：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点，M关于原点的对称点N（-x，-y）在函数f（x）=loga（x+1）的图象上，代入f（x）解析式化简可得；
（2）由题意可判F（x）为定义域为（-1，1）的奇函数且单调递减，故原不等式可化为F（t2-1）＜F（0），即t2-1＜0，解不等式可得．
解答：解：（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点，
则M关于原点的对称点N（-x，-y）在函数f（x）=loga（x+1）的图象上，
∴-y=loga（-x+1），即y=-loga（1-x），
（2）由题意可得F（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga
1+x
1-x
，
由
1+x
1-x
＞0可解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
又F（-x）=loga
1-x
1+x
=loga(
1+x
1-x
)-1=-loga
1+x
1-x
=-F（x），
∴F（x）为奇函数，必有F（0）=0
又∵F（x）=loga
1+x
1-x
=loga(
2
1-x
-1)，0＜a＜1，
∴F（x）为（1-，1）上的减函数，
∴F（t2-1）＜0可化为F（t2-1）＜F（0），
由单调性可得t2-1＜0，解得-1＜t＜1
点评：本题考查函数的解析式的求解和函数的性质，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=g（x）与f（x）=loga（x+1）（a＞1）的图象关于原点对称．
（1）写出y=g（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）+m为奇函数，试确定实数m的值；
（3）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥n成立，求实数n的取值范围．
已知函数y=G（x）的图象过原点，其导函数为y=f（x），函数f（x）=3x2+2bx+c且满足f（1-x）=f（1+x）．
（1）若f（x）≥0，对x∈[0，3]恒成立，求实数c的最小值．（2）设G（x）在x=t处取得极大值，记此极大值为g（t），求g（t）的值域．
已知函数f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2-（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）已知函数y=g（x）的零点至少有一个在原点右侧，求实数a的范围．
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=
x1+x2
2
；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）=存在“中值相依切线”．
试问：函数G（x）=f（x）-g（x）（a∈R且a≠0）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
已知函数y=g（x）的图象与f(x)=x+
1
x
的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求y=g（x）的函数解析式；
（2）设F(x)=g(x)+
a
x
（a∈R），若对任意x∈（0，2]，F（x）≥8恒成立，求实数a的取值范围．
（2012•枣庄二模）已知函数f(x)=2co
s
2
 
ωx-1+2
3
cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直线x=
π
3
是f(x)图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值：
（2）已知函数y=g（x）的图象是由y=f（x）图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移
2π
3
个单位长度得到，若g(2α+
π
3
)=
6
5
，α∈(0，
π
2
)，求sinα的值．

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