Question

已知函数y=g（x）的图象与f(x)=x+

1

x

的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求y=g（x）的函数解析式；
（2）设F(x)=g(x)+

a

x

（a∈R），若对任意x∈（0，2]，F（x）≥8恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设g（x）上任意一点 （x，y ） 关于 A（0，1）的对称点为 （x'，y'）根据中点坐标公式建立等式，根据点（x'，y'）在函数f（x）的图象上，代入函数f（x）解析式，即可求出函数g（x）的解析式；
（2）要使F(x)=g(x)+

a

x

=2+x+

1

x

+

a

x

≥8对任意x∈（0，2]恒成立，可转化成a≥-x²+6x-1对任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x²+6x-1）max，从而求出a的取值范围即可．

解答：解：（1）设g（x）上任意一点（x，y ） 关于 A（0，1）的对称点为 （x'，y'），
则根据中点坐标公式得

x+x′

2

=0，

y+y′

2

=1
整理得x'=-x，y'=2-y
而点（x'，y'）在f（x）的图象上，
代入函数f(x)=x+

1

x

得f（x'）=f（-x）=-x-

1

x

=2-g（x）
整理得g（x）=2+x+

1

x

（2）F(x)=g(x)+

a

x

=2+x+

1

x

+

a

x

≥8对任意x∈（0，2]恒成立
∴a≥-x²+6x-1对任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x²+6x-1）max=-4+12-1=7
∴实数a的取值范围是[7，+∞）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用函数的对称性求函数解析式，同时考查了分离法的运用，属于中档题．