Question

任取k∈[-

3

 ， 

3

]，直线y=kx+3与圆（x-2）²+（y-3）²=4相交于M、N两点，则|MN|≥2

3

的概率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  1

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=kx+3的距离d，由r及d，根据垂径定理及勾股定理表示出弦MN的长，令MN的长大于等于2

3

，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，根据已知k的范围，利用几何概型即可求出|MN|≥2

3

的概率．

解答：解：由圆（x-2）²+（y-3）²=4，得到圆心为（2，3），半径等于2，
圆心到直线y=kx+3的距离d=

|2k|

k2+1

，
由弦长公式得：MN=2

r2-d2

=2

4-( 2k k2+1 )2

≥2

3

，
∴

|2k|

k2+1

≤1，
解得：-

3

3

≤k≤

3

3

，又-

3

≤k≤

3

，
则|MN|≥2

3

的概率为

1

3

．
故选C

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，其他不等式的解法，以及几何概型，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．