题目内容

已知椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且过点（ $数学公式$ ）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在点M，使 $数学公式$ 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．…（1分）
∵椭圆过点（ $\text{[math]}$ ），代入椭圆方程，得 $\text{[math]}$ ．…（2分）
∴ $\text{[math]}$ ．…（4分）
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，即x²+3y²=5．…（5分）
（2）在x轴上存在点M（ $\text{[math]}$ ，0），使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数．…（6分）
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数，
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴L方程为y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ …（8分）
∵ $\text{[math]}$ =（x₁-m，y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂-m，y₂），
∴ $\text{[math]}$ =（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
设常数为t，则 $\text{[math]}$ ．…（11分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0对任意的k恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$ ，…（13分）
即在x轴上存在点M（ $\text{[math]}$ ，0），使 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数．…（14分）
分析：（1）利用椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点（ $\text{[math]}$ ），求得椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；
（2II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由利用韦达定理，及 $\text{[math]}$ 是与k无关的常数，建立方程组，即可求得结论．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查向量知识的运用，考查了一定的计算能力．