Question

【题目】已知函数，其导函数为.

（1）当，求图象在处的切线方程；

（2）设在定义域上是单调函数，求得取值范围；

（3）若的极大值和极小值分别为、，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；

【解析】

（1）先求导数，由，即可得到的值可求出，进而得到函数函数的解析式，得到，则函数在处的切线的方程可求出；

（2）在定义域上是单调函数，可得或恒成立，分离参数，构造函数，求出函数的最值即可，

（3）先设，为方程的两个实数根，由韦达定理得到，由于的极大值和极小值分别为，，可求出参数的范围，将，进而求出，即得证．

解：（1），

，

，

，即，

，

， ，

图象在处的切线的方程为，即；

（2）在定义域上是单调函数，

或恒成立，

即或，

因为不恒成立

所以在定义域上恒成立

设，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

，，；

（3）设，为方程的两个实数根，

则，

由题意，得，解得；

则

，

令，则，

故当时，，是减函数，

则，

即．