Question

四棱锥P—ABCD中,侧面APD⊥底面ABCD,∠APD=∠BAD=90°,∠ADC=60°,E为AD上一点,AE=2,AP=6,AD=CD=8,AB=.

(1)求证:AB⊥PE;

(2)求证:CD∥平面PBE;

(3)求二面角A-PD-C的大小.

Answer 1

(1)证明:∵∠BAD=90°,即AB⊥AD,

又侧面APD⊥底面ABCD,∴AB⊥面APD.

∵PE面APD,∴AB⊥PE.

(2)证明:∵∠BAD=90°,AB=23,AE=2,

∴∠AEB=60°.

∵∠ADC=60°,CD,BE共面,∴CD∥BE.

又CD面PBE,BE面PBE,∴CD∥面PBE.

(3)解:在面ABCD内作CF⊥AD,垂足为F,

∵侧面APD⊥底面ABCD,∴CF⊥面APD.

在面APD内作FG⊥PD,垂足为G,连结CG,则CG⊥PD.

∴∠CGF是二面角APDC的平面角.

∴FC=8sin60°=,FD=8cos60°=4.

∵AP⊥PD,∴AP=2FG=6,于是FG=3.

∴tan∠CGF=.

∴∠CGF=arctan为所求.