Question

奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值，又f（1）=3．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=xf（x），正数数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1²=g（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，数列{b_n}中b₁=m（m＞0），b_n+1=h（b_n）（n∈N^*）．是否存在常数m使b_n•b_n+1＞0对任意n∈N^*恒成立．若存在，求m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f（1）=3，以及f（x）为奇函数可求出b的值，然后根据当x＞0时，f（x）有最小值，可求出c的值，从而求出函数的解析式；
（2）根据a_n+1²=g（a_n）可证得{a_n²+1}为等比数列，其首项为a₁²+1=2，公比为2，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（3）假设存在正实数m，对任意n∈N^*，使b_n•b_n+1＞0恒成立，然后根据放缩法可得，取n＞1+b₁²，即n＞m²+1时，有b_n＜0与b_n＞0矛盾，从而得到结论．
解答：解（1）；
∵是奇函数；
∴即
又可知和不能同时为0
故b=0
a+b+1=3c+3d，
∴
∴
当x＞0时，f（x）有最大值
∴得
∴
（2）∵g（x）=2x²+1
∴a_n+1²=2a_n²+1⇒a_n+1²+1=2（a_n²+1）
∴{a_n²+1}为等比数列，其首项为a₁²+1=2，公比为2
∴a_n²+1=（a₁²+1）•2^n-1=2ⁿ∴
（3）由题
∴
假设存在正实数m，对任意n∈N^*，使b_n•b_n+1＞0恒成立．
∵b₁=m＞0
∴b_n＞0恒成立．
∴
∴
又
∴
取n＞1+b₁²，即n＞m²+1时，有b_n＜0与b_n＞0矛盾．
因此，不存在正实数m，使b_n•b_n+1＞0对n∈N^*恒成立．
点评：本题主要考查了函数的解析式，以及函数的奇偶性和恒成立问题，同时考查了数列的综合运用，属于中档题．