Question

某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：p=

k

3x+5

(0≤x≤8)，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．
（I）求f（x）的表达式；
（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元，可求k的值，由此，可得f（x）的表达式；
（Ⅱ）f(x)=

800

3x+5

+2(3x+5)-5，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元
∴100=

k

3×1+5

，∴k=800（3分）
∴f(x)=

800

3x+5

+5+6x，0≤x≤8 （7分）
（Ⅱ）∵f(x)=

800

3x+5

+2(3x+5)-5≥80-5 （11分）
当且仅当

800

3x+5

=2(3x+5)即x=5时f（x）_min=75． （14分）
答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元． （15分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，注意基本不等式的使用条件．