Question

若方程(

1

4

)x+(

1

2

)x-1+a=0有正数解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：为便于处理，不妨设t=(

1

2

)x，于是可转化为求关于t的方程t²+2t+a=0的根的问题，明显地，原方程有正实数解，即可转化为关于t的方程在（0，1）上有解的问题．于是问题迎刃而解．

解答：解：设t=(

1

2

)x，则有：a=-[(

1

2

)2x+2(

1

2

)x]=-t²-2t=-（t+1）²+1．
原方程有正数解x＞0，则0＜t=(

1

2

)x＜(

1

2

)0=1，
即关于t的方程t²+2t+a=0在（0，1）上有实根．
又因为a=-（t+1）²+1．
所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即-4＜-（t+1）²＜-1，
即-3＜-（t+1）²+1＜0，
即得-3＜a＜0．
故答案为：（-3，0）

点评：本替考查函数最值的求法，二次方程根的分布问题，以及对含参数的函数、方程的问题的考查，亦对转化思想，换元法在解题中的应用进行了考查．