题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上的最值．

解：（Ⅰ）由sinx≠0 得，x≠kπ （k∈z），
故f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈zZ}．…（2分）
因为f（x）= $\text{[math]}$ =（2 $\text{[math]}$ sinx-2cosx）cosx+1= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），…（6分）
所以f（x）的最小正周期 T= $\text{[math]}$ =π．…（7分）
（II）由 x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，可得 2x∈[ $\text{[math]}$ ，π]，故2x- $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，…..（9分）
故当2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时f（x）取得最小值为-1，…．（11分）
当2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最大值为 2．…．（13分）
分析：（Ⅰ）由函数的解析式求得sinx≠0，由此求得函数的定义域．利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x- $\text{[math]}$ ），由此求得它的最小正周期．
（II）由 x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，根据正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．