题目内容
已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）经过点（1，| 3 |
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在经过点（-1，1）的直线l，它与圆C相交于A，B两个不同点，且满足
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| ||
| 2 |
| OB |
分析：（1）把点（1，
）代入圆的方程求得r，则圆的方程可得．
（2）假设直线l存在，设出点A，B和M的坐标，先看若直线l的斜率存在，设直线l的方程与圆的方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2=和x1x2的表达式，进而根据直线方程求得y1y2的表达式，把A，B点坐标代入圆的方程，根据
=
+
求得x0和y0，代入圆的方程整理得x1x2+y1y2=0，进而求得k，直线l的方程可得．再看直线l的斜率不存在时，可分别求得A，B，M的坐标，代入圆方程结果不符合题意，可判定点M不在圆上．
| 3 |
（2）假设直线l存在，设出点A，B和M的坐标，先看若直线l的斜率存在，设直线l的方程与圆的方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2=和x1x2的表达式，进而根据直线方程求得y1y2的表达式，把A，B点坐标代入圆的方程，根据
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| ||
| 2 |
| OB |
解答：解：（1）由圆C：x2+y2=r2，再由点（1，
）在圆C上，得r2=12+（
）2=4
所以圆C的方程为
x2+y2=4；
（2）假设直线l存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
M（x0，y0）
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：
y-1=k（x+1），
联立
消去y得，
（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k-3=0，
由韦达定理得x1+x2=-
=-2+
，
x1x2=
=1+
，
y1y2=k2x1x2+k（k+1）（x1+x2）+（k+1）2=
-3，
因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆C上，
因此，得x12+y12=4，
x22+y22=4，
由
=
+
得x0=
，y0=
，
由于点M也在圆C上，
则(
)2+(
)2=4，
整理得，
+3
+
x1x2+
y1y2=4，
即x1x2+y1y2=0，所以1+
+（
-3）=0，
从而得，k2-2k+1=0，即k=1，因此，直线l的方程为
y-1=x+1，即x-y+2=0，
②若直线l的斜率不存在，
则A（-1，
），B（-1，-
），M(
，
)；
(
)2+(
)2=4-
≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾
综上所知：k=1，直线方程为x-y+2=0
| 3 |
| 3 |
所以圆C的方程为
x2+y2=4；
（2）假设直线l存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
M（x0，y0）
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：
y-1=k（x+1），
联立
|
（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k-3=0，
由韦达定理得x1+x2=-
| 2k(k+1) |
| 1+k2 |
| 2-2k |
| 1+k2 |
x1x2=
| k2+2k-3 |
| 1+k2 |
| 2k-4 |
| 1+k2 |
y1y2=k2x1x2+k（k+1）（x1+x2）+（k+1）2=
| 2k+4 |
| 1+k2 |
因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆C上，
因此，得x12+y12=4，
x22+y22=4，
由
| OM |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| ||
| 2 |
| OB |
x1+
| ||
| 2 |
y1+
| ||
| 2 |
由于点M也在圆C上，
则(
x1+
| ||
| 2 |
y1+
| ||
| 2 |
整理得，
| x12+y12 |
| 4 |
| x22+y22 |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
即x1x2+y1y2=0，所以1+
| 2k-4 |
| 1+k2 |
| 2k+4 |
| 1+k2 |
从而得，k2-2k+1=0，即k=1，因此，直线l的方程为
y-1=x+1，即x-y+2=0，
②若直线l的斜率不存在，
则A（-1，
| 3 |
| 3 |
-1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
(
-1-
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
故点M不在圆上与题设矛盾
综上所知：k=1，直线方程为x-y+2=0
点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．在解决直线方程问题时，一定要对斜率的存在情况进行讨论．
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