Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（2sinB，

3

+1-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），若

m

⊥

n

（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，a=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由两个向量的坐标，以及向量垂直时满足的关系，列出关系式，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理求出sinB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由B的度数确定出sinB的值，再由b与a的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，进而求出C的度数，即可求出三角形的面积．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2sinB，

3

+1-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

，
∴2sinB+2sin²B+cos2B-

3

-1=0，即2sinB-

3

=0，
∴sinB=

3

2

，
∴B=

π

3

或B=

2π

3

；
（2）①若B=

π

3

时，b=

3

，a=1，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

得：

3

3 2

=

1

sinA

，即sinA=

1

2

，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A=

π

6

，即C=

π

2

，
∴S_△ABC=

1

2

ab=

3

2

；
②若B=

2π

3

时，b=

3

，a=1，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

得：sinA=

asinB

b

=

1

2

，
∴A=

π

6

，
∴C=

π

6

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．