Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.

已知函数.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

(1) 在的值域为,函数在上不是有界函数；

（2）实数的取值范围为

解析:

（1）当时， 

    因为在上递减，所以，即在的值域为

故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数。  

   （2）由题意知，在上恒成立

，          

∴   在上恒成立

∴    

设，，，由得 t≥1，

设，

所以在上递减，在上递增，

在上的最大值为，  在上的最小值为 

所以实数的取值范围为。