Question

已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x+x-3．
（1）求f（-1）的值；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）求证：方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．

Answer 1

解 （1）因为函数f（x）是实数集R上的奇函数，所以对任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x）．
所以f（-1）=-f（1）．
因为当x＞0时，f（x）=log₂x+x-3，所以f（1）=log₂1+1-3=-2．
所以 f（-1）=-f（1）=2． …（3分）
（2）当x=0时，f（0）=f（-0）=-f（0），解得f（0）=0；
当x＜0时，-x＞0，所以f（-x）=log₂（-x）+（-x）-3=log₂（-x）-x-3．
所以-f（x）=log₂（-x）-x-3，从而f（x）=-log₂（-x）+x+3．
所以f（x）=（6分）
（3）证明：因为f（2）=log₂2+2-3=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2．
又方程f（x）=0可化为log₂x=3-x．
设函数g（x）=log₂x，h（x）=3-x．
由于g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，h（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，
所以，方程g（x）=h（x） 在区间（0，+∞）上只有一个解．
所以，方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解． …（10分）
说明：指出有解（2分），指出单调性（2分）．
分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），则f（-1）=-f（1），代入可求
（2）要求函数f（x）的表达式，只要求解x≤0时的f（x），根据奇函数的性质可知，f（0）=0；当x＜0时，-x＞0，代入已知当x＞0时，f（x）=log₂x+x-3，可求
（3）先由f（2）=0，可得方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2．然后再利用函数的单调性证明x=2是唯一的解即可
点评：本题主要考查了利用赋值求解函数值及奇函数的性质求解函数解析式，利用函数的单调性判断方程根的个数，属于函数知识的综合应用