Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求a₁，a₄；
（2）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）再写一式，两式相减，即可证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）a_n+1-2a_n=2ⁿ两边同时除以2ⁿ⁺¹，证明数列{

an

2n

}是个等差数列，即可求{a_n}的通项公式．

解答：（1）解：n=1时，S₁=2a₁-2，∴a₁=2；
n=2时，S₂=2a₂-4，∴a₂=6；
n=3时，S₃=2a₃-8，∴a₃=16；
n=4时，S₄=2a₄-16，∴a₄=40；
（2）证明：∵S_n=2a_n-2ⁿ，
∴S_n+1=2a_n+1-2ⁿ⁺¹．
两式相减可得，a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴{a_n+1-2a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（3）解：a_n+1-2a_n=2ⁿ两边同时除以2ⁿ⁺¹得：

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

∴数列{

an

2n

}是个等差数列，公差d=

1

2

∴数列{

an

2n

}的首项是

a1

21

=1
∴

an

2n

=

n+1

2

∴a_n=（n+1）•2^n-1

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．