Question

已知函数f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b
（1）当a＞0时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0且x∈[0，

π

2

]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简整理得f（x）=

2

2

asin（2x+

π

4

）+

1

2

a+b．再由正弦函数的图象与性质，解关于x的不等式即可得出a＞0时f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，算出2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]．根据a＜0可得当sin（2x+

π

4

）最大时函数有最小值，当sin（2x+

π

4

）最小时函数有最大值．由此结合函数的值域，建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．

解答：解：（1）∵cos²x=

1

2

（1+cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=a（cos²x+sinxcosx）+b=

1

2

a（sin2x+cos2x）+

1

2

a+b
=

2

2

asin（2x+

π

4

）+

1

2

a+b
当a＞0时，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，（k∈Z），
因此函数f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，（k∈Z）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
∴当x=

π

2

时，f（x）的最大值-

1

2

a+

1

2

a+b=4…①
当x=

π

8

时，f（x）的最小值

2

2

a+

1

2

a+b=3…②
联解①②，可得a=2-2

2

，b=4．

点评：本题给出三角函数式的化简，求函数的单调区间与最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和函数的值域与最值等知识，属于中档题．