题目内容
（2012•辽宁）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．
分析：（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB，
=
，由此得到所证．
（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，
=
，AE•BD=AD•AB，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
| AC |
| AD |
| AB |
| BD |
（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，
| AE |
| AD |
| AB |
| BD |
解答：证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴
=
，
∴AC•BD=AD•AB．
（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴
=
，∴AE•BD=AD•AB．
再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴
| AC |
| AD |
| AB |
| BD |
∴AC•BD=AD•AB．
（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，
∴
| AE |
| AD |
| AB |
| BD |
再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．
点评：本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．
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