题目内容

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为4，E为面A₁D₁DA的中心，
CF=3FC₁，AH=3HD，
（1）求异面直线EB₁与HF之间的距离
（2）求二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值．

解：如图建立直角坐标系D₁-xyz，则E（2，0，2），B₁（4，4，0），H（1，0，4）
（1） $\text{[math]}$ =（2，4，-2）， $\text{[math]}$ =（-1，4，-3） $\text{[math]}$ =（-1，0，2），设 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
$\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
，取x=1，则z=-3，y=-2，
则 $\text{[math]}$ =（1，-2，-3）
异面直线EB₁与HF之间的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）） $\text{[math]}$ =（2，4，-2）， $\text{[math]}$ =（2，0，-2）， $\text{[math]}$ =（-1，0，2），
设平面HB₁E的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
则 $\text{[math]}$ 即
$\text{[math]}$ 取x=2，则y= $\text{[math]}$ ，z=1．∴ $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ，1）
令平面A₁B₁E的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
则 $\text{[math]}$
取x=1，y=0，z=1，则为 $\text{[math]}$ =（1，0，1）
∴|cos $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵二面角H-B₁E-A为钝二面角．
∴二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出异面直线EB₁与HF的方向向量，以及与它们垂直的向量 $\text{[math]}$ ，异面直线EB₁与HF之间的距离等于 $\text{[math]}$ ．
（2）求出平面HB₁E的法向量为 $\text{[math]}$ ，平面A₁B₁E的法向量为 $\text{[math]}$ ，二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值的绝对值等于 $\text{[math]}$ 夹角的余弦绝对值．
点评：本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．