Question

已知圆C的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点到直线的距离公式，求得另一条切线方程，与圆方程联立，从而可得直线AB的方程，由此可求椭圆T的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出|PQ|，求出原点到直线l的距离，表示出三角形的面积，进而利用基本不等式，即可求得△OPQ面积的最大值．
解答：解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）．．（2分）
则：，解得：，此时切线方程为：
切线方程与圆方程联立，可得x²+（）²=4，从而可得，
则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2
故所求椭圆方程为…．（6分）
（2）联立整理得，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，，
，即：2k²-1＞0…．．（8分）
又原点到直线l的距离为，，…．．（10分）
∴
=
当且仅当时取等号，则△OPQ面积的最大值为1．            …．．（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．