Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若函数的图象与轴有且仅有一个交点，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，对任意的，均有成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】分析：（1）求出导函数，可求出，切线方程为，化简后即可；

（2）题意说明方程只有一解，分离变量后为，由导数研究函数的单调性，得最大值，同时研究的函数值的变化趋势，可得结论；

（3）令，求出导数后可得的两解，分类讨论求得在上的最小值，由这个最小值可求得的范围．

详解：（1）时，，，

，，

所以切线方程为，即.

（2）令 ，

令 ，

易知在上为正，递增；在上为负，递减，

，又∵时，；时，，

所以结合图象可得.

（3）因为，所以，

令 ，

由或.

（i）当时，（舍去），所以，

有时，；时， 恒成立，

得，所以；

（ii）当时，，

则时，；时，，时，，

所以，则，

综上所述，.