题目内容

设f（x）是偶函数，且当x≥0时， $数学公式$ ．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

解：（1）由题意得，当-3≤x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3），
同理，当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）= $\text{[math]}$ ；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，
①当a≤3时，f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递减，
所以g（a）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
②当3＜a≤7时，f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]与[3， $\text{[math]}$ ]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ，3]与[ $\text{[math]}$ ，5]上单调递减，
所以此时只需比较f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 与f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 的大小．
1°当3＜a≤6时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ≥f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，所以g（a）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
2°当6＜a≤7时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，所以g（a）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
3°当a＞7时，f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]与[3，5]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ，3]上单调递减，
且f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），
综上所述，g（a）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设-3≤x＜0、x＜-3，利用偶函数性质及已知函数的解析式，即可求得结论；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；
点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．