Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=

a

2

n²．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）试讨论数列{a_n}的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=

a

2

n²，a_n=S_n-S_n-1，n≥2，然后将首项代入验证，可得数列{a_n}为公差为a的等差数列；
（2）根据a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）可知只需讨论公差a的符号，从而确定数列{a_n}的单调性．

解答：解：（1）由已知，得a1=S1=

a

2

，
an=Sn-Sn-1=

a

2

(2n-1)=an-

a

2

(n∈N*，n≥2)…（3分）
又a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）…（2分）
所以，数列{a_n}为公差为a的等差数列．   …（1分）
（2）由a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）得
当a＞0时，数列{a_n}为递增数列；        …（2分）
当a=0时，数列{a_n}为常数列；           …（2分）
当a＜0时，数列{a_n}为递减数列．        …（2分）

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及数列的函数特性和数列的单调性，属于基础题．