Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥CD；
（Ⅲ）若G是线段AD上一动点，试确定G点位置，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由已知中E，F分别是AB，PB的中点，由三角形中位线的性质，我们易得EF∥AP，结合线面平行的判定定理，即可得到EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由于底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，结合线面垂直的判定定理，易得CD⊥平面PAD，进而根据线面垂直的定义得到CD⊥PA，即EF⊥CD．
（III）由图分析可得G是AD的中点时，GF⊥平面PCB，取PC中点H，连接DH，HF，根据线面垂直的判定定理，我们易得DH⊥平面PCB，结合DH∥GF，即可得到GF⊥平面PCB．

解答：解：
（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP．
又∵EF?平面PAD，AP?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．（4分）
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD．
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．∴CD⊥平面PAD，
又∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA．又∵EF∥PA，∴EF⊥CD．（8分）
（Ⅲ）解：G是AD的中点时，GF⊥平面PCB．证明如下：（9分）
取PC中点H，连接DH，HF．
∵PD=DC，∴DH⊥PC．
又∵BC⊥平面PDC，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB．∵HF

∥

.

1

2

BC

∥

.

DG，
∴四边形DGFH为平行四边形，∴DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间中直线与平面平行的判定定理，及空间直线与平面垂直的判定方法是解答此类问题的关键．