Question

已知等差数列{a_n}中，a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当a₂＞a₁时，若数列{a_n}的前n项和为S_n，设bn=

n

(n+1)Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得a22=a1•a5，然后利用等差数列的通项代入可求d与a₁的关系，再由a₃=a₁+2d=5，可求a₁，d，进而可求通项
（II）由（1）及a₂＞a₁时，可求a_n=2n-1，Sn=n2，则bn=

n

(n+1)n2

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项可求数列的和

解答：解：（I）∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴

a

2 2

=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)
∴d=0，或d=2a₁，（2分）
由a₃=a₁+2d=5，得，

a1=5 d=0

或

a1=1 d=2

．（4分）
∴a_n=5或an=2n-1(n∈N*)（6分）
（II）当a₂＞a₁时，a_n=2n-1，
∴Sn=n2，（8分）
则bn=

n

(n+1)n2

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

（12分）

点评：本题主要考查； 等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，裂项求和的应用，属于等差数列与等比数列的综合应用