Question

已知函数f(x)=

( 1 2 )x- 1 2 ，x≤1 log 1 2 x，x＞1

，若f（a²-3）＞f（2a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，-3）∪（-1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（3，+∞）

C．（-3，1）

D．（-1，3）

Answer 1

分析：当x≤1时，(

1

2

)x- 

1

2

是减函数，又 当 x＞1 时，log

1

2

x 也是减函数，所以函数f（x）在R上是减函数，故由条件可得a² -3＜2a，由此解得a的范围．

解答：解：当x≤1时，(

1

2

)x- 

1

2

是减函数，此时的最小值(

1

2

)1-

1

2

=0．
又 当 x＞1 时，log

1

2

x 也是减函数，
且当x=1时，两个端点的函数值分别为(

1

2

)x-

1

2

=0，及 log

1

2

x=0，
所以函数f（x）在R上是减函数．
因为f（a²-3）＞f（2a），所以a² -3＜2a，即 a² -2a-3＜0，
解得3＞a＞-1．
故选 D．

点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用，属于中档题．