Question

设函数若函数f（x）在x=3处取得极小值是，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0，解得 ，
又，
所以-（a+1）•3²+4a×3+b=，把a=代入该式，解得b=-4，
所以a=，b=-4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=x²-5x+6，
由f′（x）＞0，得x＞3或x＜2，
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，2），（3，+∞）．
分析：（Ⅰ）由函数f（x）在x=3处取得极小值是，得f′（3）=0，可解得a值，再由f（3）=可求得b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的表达式，解不等式f′（x）＞0即可得到单调增区间；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值及单调性问题，属基础题，准确求导，正确理解导数与单调性、极值的关系是解决问题的基础．