Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)  2．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求数列{

1

anan+2

}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1，2可以求a₁=1，a₂=2．
（2）由已知可得a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+ an+1)2，两式相减，结合a_n＞0可求得an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1，则可得an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，n≥2，两式相减整理可得a_n+1-a_n=1，从而可得数列{a_n}是等差数列，可求
（3）由（2）知

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂项可求和

解答：（1）解：当n=1时，有a13=a12，由于a_n＞0，所以a₁=1．
当n=2时，有a13+a23=(a1+a2)2，将a₁=1．代入上式，由于a_n＞0，，所以a₂=2．
（2）解：由于a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)  2，①
则有a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+ an+1)2．   ②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+ an+1)2-(a1+a2+…+an)2
由于a_n＞0，所以an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1  ③
同样有an2=2(a1+a2+…+an-1)+ann≥2，④
③-④，得an+12-an2=an+1+an． 所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1．
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n，

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
所以Sn=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+ 

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，及构造等差数列求解通项公式，还考查了裂项求解数列的和，要注意

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)中的系数

1

2

不要漏掉